PDA

View Full Version : [Toán]Chứng minh BĐT



Candy
09-09-2009, 10:22 AM
Èo, thấy phong trào toán ở trường mình ... sao mà ... thế. Làm bài cho mọi người giải khuây và kéo cái phong trào này lên xem sao (chắc là ko đc nhiều) :(

Cho a>1; b>1. Chứng minh rằng:
\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\succeq\8

StevenLee
19-09-2009, 07:45 PM
bài này dễ mà, áp dụng BDT Scharwartz ta có
a^2/(b-1) +b^2/(a-1) >=(a+b)^2/(a+b-2) ( cái này dùng bunhia là CM đc)
đặt a+b=t(do a,b>1=>t>2), ta có F(t)=t^2/(t-2)
F(t)'=(t^2-4t)/(t-2)^2
F(t)' =0 <=>t=0 và t=4 lập BBT ta có F(t)>=8=>đpcm
dấu = xảy ra <=>a+b=4
lâu lắm hok làm BDT có j` sai sót thông cảm nhá hj

StevenLee
29-09-2009, 09:50 PM
ế ẩm quá ................................cái topic này đóng cửa đj là vừa

DonGianLaSpam
07-11-2009, 04:30 AM
chắc đúng rồi nên ko ai nói gì =))

Reddevils
16-11-2009, 05:39 PM
Góp một bài :D
Cho 0\le a \leb \le1

Chứng minh : b\sqrt{a} - a\sqrt{b} \le \frac{1}{4}
Có thể ai đó làm rùi ;))

ToanA4_03_06
02-12-2009, 06:42 PM
bài 1:
Theo BDT cosi:
a2/(b-1) +4(b-1) ≥4a (1)
b2/(a-1) +4(a-1) ≥4b (2)
(1)+(2)
a2/(b-1) + b2/(a-1) ≥ 8
câu 2:
b√a -a√b ≤1/4
=>b√a ≤ a√b +1/4(3)
công cả 2 vế của (3) cho (1/4)*(√b )^3
a√b +1/4+(1/4)*(√b )^3 ≥ b√a+(1/4)*(√b )^3
ta có theo cosi:
a√b +(1/4)*(√b )^3 ≥ b√a
do đó BDT đưa về
(1/4)*(√b )^3≤1/4
luôn luôn đúng do b ≤ 1

@:chứng minh BDT không cần những công thức khủng mà phải mày mò những BDT đơn giản nhất là sẽ làm dc.
Trong chương trình thi ĐH chỉ cần Cosi và bunhia là có thể làm dc đây là 2 BDT kinh điển nhất,các BDT khác đều dựa trên 2 BDT này để sáng tác ra
lâu quá không viết tên Cosi nên ngượng tay quá hix

ToanA4_03_06
03-12-2009, 03:15 PM
"Lý do:
Chưa biết đúng sai nhưng mà động viên tinh thần "
Nói thật mình cũng không ý định giải nhưng quả thật những bài này thuộc dạng đơn giản,nhưng sao phải lên đây hỏi,nó luôn có trong sách BDT hồi xưa lớp mình mấy bài này gần như đứa nào mới đọc đề cũng biết ngay cách làm.
Mình cũng chẳng phải động viên làm gì bởi mnihf cũng không có nhiều thời gian đâu:D,sắp đi làm lấy tiền nuôi vợ rồi
Còn cậu không biết đúng hay sai thì cũng không phải nói như vậy

minh_hg
03-12-2009, 09:10 PM
"Lý do:
Chưa biết đúng sai nhưng mà động viên tinh thần "
Nói thật mình cũng không ý định giải nhưng quả thật những bài này thuộc dạng đơn giản,nhưng sao phải lên đây hỏi,nó luôn có trong sách BDT hồi xưa lớp mình mấy bài này gần như đứa nào mới đọc đề cũng biết ngay cách làm.
Mình cũng chẳng phải động viên làm gì bởi mnihf cũng không có nhiều thời gian đâu:D,sắp đi làm lấy tiền nuôi vợ rồi
Còn cậu không biết đúng hay sai thì cũng không phải nói như vậy

:hmm::hmm:
Em có dụng ý gì đâu mà bác có vẻ căng thẳng thế :-/
Em thuộc dạng gà toán thật mà, nhất là BĐT. Em cộng sp là để động viên mọi người viết bài trong box học tập đúng vs lí do động viên tinh thần như trên mà.
Còn bác thấy nó có gì mạo phạm thì để em thay vậy, có gì đâu :D

handoivodoi
18-05-2010, 11:36 PM
Bạn có bao nhiêu cách giải cho bài này :
C/m
( a^2 + bc ) / ( b+c) + ( b^2 + ac) / ( a+c) + ( c^2 + ab) / ( a+b) >= a + b + c

với a,b,c dương
Thông cảm tôi không biết viết công thức tóan trên trang này :loa:

Pham Tu Anh
09-06-2010, 08:07 PM
Bạn có bao nhiêu cách giải cho bài này :
C/m
( a^2 + bc ) / ( b+c) + ( b^2 + ac) / ( a+c) + ( c^2 + ab) / ( a+b) >= a + b + c

với a,b,c dương
Thông cảm tôi không biết viết công thức tóan trên trang này :loa:

cái này dùng SOS là được mà
BĐT cần chứng minh tương đương với :
[ (a^2 +bc)/(b+c) - (b+c)/2 ] + [ (b^2 + ac) /(a+c) - (a+c)/2 ] + [ (c^2 + ab) /(a+b) - (a+b)/2 ] >=0
=> (2a^2 -b^2-c^2)/2(b+c) + (2b^2-a^2-c^2)/2(a+c) + (2c^2-a^2-b^2)/2(a+b)>=0
ghép các thừa số chung (a^2-b^2) ; (b^2-c^2) ; (c^2-a^2) ta được bất đẳng thức cần chứng minh là :
(a^2-b^2)[ 1/(b+c) - 1/(a+c) ] + (b^2-c^2)[1/(a+c) - 1/(a+b) ] + (c^2-a^2)[ 1/(a+b) -1/(b+c) ] >=0
=> (a-b)^2(a+b)/(b+c)(a+c) + (b-c)^2(b+c)/(a+c)(a+b) + (c-a)^2(c+a)/(a+b)(b+c) >=0
suy ra đpcm :)
ngoài ra cái này còn dùng cô si ngược dấu được, hoặc sử dụng phương pháp p,q,r

Pham Tu Anh
09-06-2010, 11:49 PM
bài này dễ mà, áp dụng BDT Scharwartz ta có
a^2/(b-1) +b^2/(a-1) >=(a+b)^2/(a+b-2) ( cái này dùng bunhia là CM đc)
đặt a+b=t(do a,b>1=>t>2), ta có F(t)=t^2/(t-2)
F(t)'=(t^2-4t)/(t-2)^2
F(t)' =0 <=>t=0 và t=4 lập BBT ta có F(t)>=8=>đpcm
dấu = xảy ra <=>a+b=4
lâu lắm hok làm BDT có j` sai sót thông cảm nhá hj
theo tớ thì làm thế này đỡ phải dùng bảng biến thiên nè
ta có a^2=(a-1+1)^2>= 4(a-1)
tương tự b^2>=4(b-1)
thế là suy ra đpcm :)
-----------------------------------------

:hmm::hmm:
Em có dụng ý gì đâu mà bác có vẻ căng thẳng thế :-/
Em thuộc dạng gà toán thật mà, nhất là BĐT. Em cộng sp là để động viên mọi người viết bài trong box học tập đúng vs lí do động viên tinh thần như trên mà.
Còn bác thấy nó có gì mạo phạm thì để em thay vậy, có gì đâu :D

ừm, mình cũng đã từng rất thích BĐT nhưng mà từ khi lên đại học chả bao giờ mò đến nữa, hy vọng topic này được nhiều người ủng hộ, thỉnh thoảng vào trao đổi :)